Arte y matemáticas, mezclar con cuidado

Las diferentes teselaciones pentagonales. Majo statt Senf / Wikimedia Commons, CC BY-SA

El arte y las matemáticas han sido un binomio frecuente y de riqueza inspiradora a lo largo de la historia. Basta recordar la obra de Leonardo, el genio renacentista explorador de la belleza, las matemáticas y la ingeniería; la más reciente de Dalí, cabalgando sobre los descubrimientos científicos de su época, incorporando disciplinas como la topología y la física relativista; o la de Escher, que nos embobó con sus composiciones magistrales que incorporaban las geometrías no euclídeas o el concepto de teselación. Sólo por citar a tres grandes artistas muy conocidos, de distintos países y corrientes artísticas. La lista es muy larga, y necesariamente injusta pues nos dejaríamos a buen seguro otros muchos de gran valor.

¿Cómo incorporan los artistas matemáticas a su obra?

Las matemáticas seducen por su perfección, y añaden un elemento que trasciende la obra artística cuando es incorporado como idea a la misma. Si se utilizan sus técnicas en el arte, este se vuelve más comprensible y de un goce estético superior.

Así, casi bendecidos por “la ciencia del razonamiento”, muchos artistas han estudiado textos, e incluso hasta han llegado a trabar relaciones de amistad con matemáticos para obtener conocimiento con el que construir su obra. Aunque esta no constaba de razonamientos, como sí lo hacen las matemáticas, sino de experimentación, creación y emoción.

Melancholia I (1514), de Albert Durero.
Wikimedia Commons

Han utilizado todo ese caudal de conocimiento para inspirar sus creaciones, dando una visión artística de objetos matemáticos, movimientos del plano o representaciones conceptuales. No han realizado, usualmente, ningún descubrimiento matemático nuevo, y las ocasiones en que lo han hecho, puede que no fueran completamente conscientes de ello.

Uno de estos casos en la historia es el del cuadro de Albert Durero, “Melancolía I”, en donde aparece un nuevo poliedro de caras pentagonales sobre el que se han escrito tratados completos. Durero es un artista con interés global, como Leonardo u otros, y su obra es un aporte excepcional en el arte y en la ciencia.

¿La exposición “Roja melancolía” encierra un nuevo teorema?

El artista plástico español José Manuel Darro, de larga y fecunda trayectoria artística, se ha inspirado en esa obra de Durero para su exposición ‘Roja melancolía’, una exploración profunda del poliedro de Durero y de la geometría plana teseladora que podemos encontrar en la Alhambra de Granada u otros monumentos como el Fuerte Rojo de Delhi.

La exposición ha sido comisariada por un matemático, Rafael Pérez Gómez, que en el catálogo de la misma afirma que “en el proceso que Darro siguió para encontrarlos, hizo un maravilloso descubrimiento: el decimosexto mosaico periódico de la historia formando teselas pentagonales”.

Por tanto, según su comisario, la obra de Darro en realidad contiene un teorema, un nuevo descubrimiento de un objeto matemático hasta ahora no conocido. El supuesto descubrimiento ha aparecido también en diversos medios nacionales.

Teselaciones pentagonales del plano

Los pentágonos regulares, a diferencia de los cuadrados, los triángulos o los hexágonos (regulares), no teselan el plano, ya que sus ángulos de 108º no permiten sumar los 360º necesarios para ello.

Sin embargo, a lo largo de la historia se han descubierto 15 familias distintas de pentágonos irregulares que sí teselan el plano. La última tardó 30 años en llegar y es tan reciente como 2015. Entonces nadie sabía si existían o no nuevas teselaciones pentagonales monoedrales (con un solo tipo de pentágono) del plano.

Imagen 2.
Álvaro Martínez Sevilla, Author provided
Imagen 3.
Álvaro Martínez Sevilla, Author provided

Pero en 2017, un matemático francés del CNRS de Lyon, Michaël Rao, escribe un artículo en el que demuestra que “solo pueden existir 15 tipos de familias distintas de pentágonos que teselan el plano”. La demostración es computacional y se basa en un programa de ordenador, en cuya comprobación está involucrado Thomas Hales, de Pittsburgh, el matemático que demostró la conjetura de Kepler sobre empaquetamiento de esferas. Así pues no hay pentágono de tipo 16 ni está presente en ningún cuadro de Darro, como afirma su comisario. Búsqueda terminada.

En realidad hay dos problemas distintos aquí dentro. Uno es el de cuántos tipos de familias de pentágonos pueden teselar el plano. Este problema está cerrado: son 15. No puede haber una decimosexta, y de hecho el pentágono de Darro pertenece a la familia de tipo 1, descubierta en 1918 (Imágenes 2, 3 y 4).

Otro es el de cuantas teselaciones distintas (agrupamiento espacial de pentágonos de una de esas 15 familias para recubrir el plano) se pueden hacer. Este problema está abierto aún y son innumerables las teselaciones encontradas.

Imagen 4.
Wikimedia Commons
Imagen 5.
Wikimedia Commons

Pero la que se muestra en la exposición (obra en sala y catálogo) tampoco es nueva. La conocida como “región unidad” es en nuestro caso un hexágono formado con la agrupación de 2 de estos pentágonos, y se puede encontrar con facilidad en otros lugares, hasta incluso en la Wikipedia (Imagen 5). Si le añadimos colores, aumentan naturalmente los hexágonos a agrupar para formar la región unidad. Con 4 colores en los pentágonos, son necesarios dos hexágonos de esta familia agrupados en la región unidad para cubrirlos (como muestra la imagen 6).

Los métodos de la ciencia

En realidad nada nuevo. La confusión en matemáticas puede ocurrir con frecuencia y en correspondencia particular con Rao, éste me ha confesado que regularmente aparecen aficionados a la matemática que afirman haber descubierto el pentágono 16 que tesela el plano.

Imagen 6.
Álvaro Martínez Sevilla, Author provided

Pero la matemática sigue un estricto método para asegurarse de que estas cosas no trasciendan como teorema y no sean incorporadas como nuevo descubrimiento por la comunidad científica. El método es el de revisión por pares y publicación en revistas especializadas. Así, colegas de todo el mundo podrán comprobar que lo anunciado es correcto… o no. Y previamente habrán pasado el filtro de un par de revisores, cuyos criterios son tan exigentes que a veces te dejarán en la cuneta un artículo, no ya porque el contenido matemático esté mal, sino solo porque la redacción en inglés no es la adecuada o su formulación escrita pueda ser mejorada.

Y esto es lo que ha fallado en el anuncio del teorema en un cuadro. Revisión por pares y publicación. Por lo demás la obra de Darro es muy bella y no necesita de nuevos teoremas para dejarse llevar por ella. Si tienen oportunidad, visítenla, estará en diversas ciudades y la disfrutaran seguro.

The Conversation

Álvaro A. Martínez Sevilla recibe fondos de:
* Director Científico del proyecto FCT-17-12360 de la FECYT (Fundación Española para la Ciencia y la Teconología).
* Miembro del Grupo de Investigación “Soft Computing y Sistemas Inteligentes” TIC-186 del catálogo de Grupos de
Investigación de la Junta de Andalucía.

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Author: Álvaro A. Martínez Sevilla, Profesor de Matemáticas e Informática, Universidad de Granada